On donne les équations suivantes dans R² :

On demande :

1. de montrer graphiquement que les courbes représentant ces deux relations dans le plan ont soit 0, 1 ou 2 points en commun, selon la valeur du paramètre a.

2. de calculer la valeur de a dans le cas où il n'y a qu'un seul point commun.

3. de donner dans ce cas, l'équation de la deuxième courbe, et les coordonnées du point commun aux deux courbes.

1. Représentons la courbe d'équation :

y est une fonction du second degré. Sa représentation est une parabole:

Puisque le coefficient de x² est –1, il s'agit d'une parabole à maximum (concavité tournée vers le bas).

L'axe du symétrie a pour équation : x = 0 . Il s'agit donc de l'axe des ordonnées.

Le sommet a pour coordonnée (0,-36)

Représentons sur le même graphique la courbe d'équation:

y est une fonction du premier degré. Sa représentation est une droite passant par l'origine des axes.

Son coefficient angulaire est a² , c'est-à-dire un nombre positif ou nul, donc la droite est croissante, sauf lorsque a=0 où elle est confondue avec l'axe des abscisses.

Suivant les valeurs attribuées au paramètre a, la droite "pivote" donc autour de l'origine, tout en restant croissante. Elle rencontre donc la parabole soit en 2 points, soit en un seul point, soit elle ne la rencontre pas.

2. Pour calculer les points communs à la droite et à la parabole, résolvons le système formé par leurs équations:

Résolvons la première de ces deux équations (appelée équation aux abscisses).

Pour que la parabole et la droite n'aient qu'un seul point commun, cette équation du second degré doit avoir une seule solution donc le réalisant de l'équation doit être nul :

3. La deuxième courbe a alors pour équation :

Pour calculer l'abscisse du point commun, reprenons l'équation aux abscisses, dans laquelle le réalisant est nul.

On obtient l'abscisse :

et l'ordonnée:

y=12. -6= -72

La coordonnée du point commun est donc (-6 , -72)

Rappels de cours concernant cette question:

La représentation graphique de la fonction du second degré d'équation :

est une parabole qui a les caractéristiques suivantes :

si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum)
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)

son axe de symétrie a pour équation :

son sommet a pour coordonnée :

La représentation graphique de la fonction du premier degré d'équation :

y = ax + b

est une droite. Cette droite passe par l'origine si b = 0.

- si le coefficient angulaire a > 0, la droite est strictement croissante
- si le coefficient angulaire a < 0, la droite est strictement décroissante
- si le coefficient angulaire a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q1)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

	La fonction du premier degré   (référence : F1)  définition, représentation, racine, signe
	La fonction du second degré (référence : F2) définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

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