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Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 3 (Juillet 1999 - série 2)

Enoncé:

Trois motocyclettes quittent la ville A vers la ville B à des vitesses respectives a, b, c km/h constantes, avec 0<a<b<c.

La deuxième moto se déplaçant à la vitesse b quitte la ville A deux heures après la première moto qui se déplace à la vitesse a.

Combien de temps après de départ de la deuxième moto, faut-il faire partir la troisième, se déplaçant à la vitesse c, de manière à ce qu'elle rattrape les deux précédentes au même endroit (c'est à dire au moment où la deuxième rattrape la première). A quelle distance du point de départ a lieu cet événement?

Exprimez votre résultat, en fonction de a, b, c. Ensuite appliquez au cas où a = 30, b = 50 et c = 70 km/h.

Résolution:

Désignons par x la distance à laquelle la deuxième moto rattrape la première et t le temps mis par la première moto, roulant à la vitesse constante a, pour arriver à cet endroit. Nous avons donc la relation:

(1)

La deuxième moto a donc parcouru la distance x en un temps t - 2 avec une vitesse constante b. Nous obtenons la relation:

(2)

Désignons par t₁ le temps écoulé après le départ de la deuxième moto au moment du départ de la troisième moto. Celle-ci a donc parcouru la distance x en un temps t-(2+t₁) avec une vitesse constante c. Nous avons donc la troisième relation:

(3)

De (1) et (2), nous tirons:

En remplaçant t dans (1), nous obtenons x:

Remplaçons x et t dans (3):

Il reste à résoudre cette équation:

Conclusion: la distance en km à laquelle les trois motos se rejoignent est donnée par la formule:

Et le temps écoulé après le départ de la deuxième moto au moment du départ de la troisième moto pour que celle-ci rattrape les deux autres au même moment est donné par la formule:

Application numérique: si a = 30, b = 50 et c = 70 km/h, nous obtenons:

et

Rappels de cours concernant cette question:

Formules du mouvement rectiligne uniforme

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est constante tout au long du trajet en ligne droite.

La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours (en s).

Si v désigne la vitesse, e l'espace parcouru et t le temps de parcours, on a donc la formule:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q103)

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