a)

Nous avons:

Par conséquent, la limite demandée est un cas d'indétermination. Transformons l'expression donnée:

Nous obtenons une indétermination du type .

Première méthode: nous multiplions le numérateur et le dénominateur par afin d'employer ensuite la formule fondamentale:

Deuxième méthode: nous appliquons la règle de l'Hospital:

b)

Nous allons procéder par parties en posant:

Nous obtenons:

Procédons de la même manière:

Nous obtenons:

Appliquons encore une fois la formule d'intégration par parties:

Nous obtenons:

c)

Utilisons la formule de trigonométrie:

Nous en déduisons:

Nous utilisons maintenant la formule de trigonométrie:

Nous obtenons:

L'intégrale à calculer devient donc:

Nous allons maintenant effectuer la substitution suivante:

et donc:

Formules des dérivées employées dans cette question

Formules de trigonométrie employées dans cette question

Formule fondamentale :
Formule de Carnot :
Expression du cosinus en fonction de l'angle moitié

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q105)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

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