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On considère les nombres complexes (avec i2 = -1)
On demande:
(1) de calculer le module et un argument de z1, z2 et Z
(2) de déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z
(3) de déterminer la valeur de
et de
en utilisant des
nombres complexes bien choisis.
(Ne pas calculer les radicaux.)
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(1) Module et argument de z1, z2 et Z |
Module de z1:
Argument de z1:
(le point représentant z1 dans le plan de Gauss est situé dans le 4ème quadrant)
Module de z2:
Argument de z2:
(le point représentant z2 dans le plan de Gauss est situé dans le 4ème quadrant)
Pour calculer le module et un argument de Z, nous utilisons la forme trigonométrique de z1 et z2 et nous utilisons les propriétés des nombres complexes sous forme trigonométrique.
Nous avons:
Et par conséquent:
Le module de Z est donc
et un argument
de Z est 
.
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(2) Partie réelle et partie imaginaire de Z |
Calculons Z sous la forme a + bi:
La partie réelle de Z est donc
et la partie
imaginaire de Z est
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(3) Calcul de
et de
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Remarquons que:
Nous avons:
Nous en déduisons que:
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Nombre complexe |
Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que
a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
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Forme trigonométrique d'un nombre complexe |
Un nombre complexe
s'écrit sous forme trigonométrique
ce qu'on note aussi plus brièvement
dans laquelle le module est
et l'argument se calcule ainsi
ce qui donne
| si a>0, alors |  |
| si a<0, alors |
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Propriétés:
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Valeurs particulières des nombres trigonométriques |
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue
(référence : Q120)Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines nèmes d'un nombre complexe
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