Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune Polytechnique + toutes armes – Algèbre Analyse – Question 4 (2000)

Enoncé:

Résolution:

1. - détermination de a et b :

Puisque la tangente au point d'abscisse -1 a comme équation y = -5, le point de contact de la tangente au graphe a pour coordonnée (-1,-5). Nous en déduisons que

D'autre part, le coefficient angulaire de la tangente au point d'abscisse -1 est nul donc:

Calculons f ' (x):

La condition est donc:

Remplaçons b par sa valeur dans (1):

Réponse:

2. - étude de la fonction obtenue :

a. équations des asymptotes de f

asymptotes verticales

condition d'existence:

0 est le seul réel adhérent au domaine de définition et qui ne lui appartient pas. Nous calculons donc la limite de la fonction en 0:

Le graphe de f admet donc la droite d'équation x = 0 pour asymptote verticale (il s'agit de l'axe des ordonnées)

asymptotes horizontales et obliques

f étant une fraction rationnelle dont le degré du numérateur surpasse de 1 le degré du dénominateur, le graphe de f admet une asymptote oblique (pour ) et par conséquent pas d'asymptote horizontale.

En remarquant que f(x) peut s'écrire:

l'équation de l'asymptote oblique est:

b. abscisse des points d'intersection éventuels de l'asymptote oblique a avec le graphique de f

Il suffit de résoudre l'équation:

L'abscisse du point d'intersection entre l'asymptote oblique et le graphique de f est -1/3.

c. abscisse du point d'intersection de l'asymptote a avec la tangente t

Il suffit de résoudre l'équation:

L'abscisse du point d'intersection de l'asymptote a avec la tangente t est -3.

d. dérivée et croissance et décroissance de f

La dérivée a été calculer dans le point 1. Il suffit d'y remplacer b par sa valeur:

Pour étudier les variations de f, nous devons étudier le signe de la dérivée et pour cela, rechercher les racines du numérateur et du dénominateur.

Racines du numérateur: nous devons résoudre l'équation:

Nous observons que si x = 2, l'équation est vérifiée et que par conséquent, le polynôme du premier membre est divisible par x - 2. Calculons le quotient par la méthode de Horner:

L'équation est donc équivalente à:

Racines du dénominateur:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et des variations de f:

Le minimum de la fonction est

e.abscisse des points d'inflexion du graphique de f

Calculons la dérivée seconde:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et de la concavité de son graphe (les racines du numérateur et du dénominateur sont respectivement -1 et 0)

Le seul point d'inflexion a pour coordonnée (-1,-5).

f. aire de la partie bornée du plan, limitée par t, a et le graphique de f

Marquons sur le graphique l'abscisse des points calculés ci-dessus:

Nous observons que l'aire S est la somme des deux aires S1 et S2.

Calcul de S1:

nous avons que:

et donc:

Calcul de S2:

nous avons que:

et donc:

La surface totale demandée est donc:

Rappels de cours concernant cette question:

Equation de la tangente au graphe d'une fonction f au point d'abscisse a

Formules des dérivées

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.   L’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Asymptotes verticales et limites infinies

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation

Si f(x) est une fraction dont le numérateur s'annule pour x = a, mais pas le dénominateur, les limites de f à gauche et à droite en a sont infinies. On détermine le signe en étudiant le signe de la fonction.

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Dans le cas où la fonction est définie par une fraction de polynôme dont le degré du numérateur surpasse de 1 unité le degré du dénominateur,  son graphe admet toujours une asymptote oblique des deux côtés.

On peut dans ce cas déterminer facilement l'équation de l'asymptote oblique en effectuant la division euclidienne du numérateur de la fonction par le dénominateur. La fonction s'écrit alors:

dans laquelle

Points d'intersection entre deux courbes

Pour rechercher la coordonnée des points d'intersection de deux droites ou courbes, on résout le système formé par les équations de ces droites ou courbes.

Si les courbes ont pour équation y = f(x) et y = g(x), pour trouver l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, on résout  l'équation f(x) = g(x).

Croissance, décroissance, extremum d'une fonction

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

Règle du produit nul

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

-                  calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

-                  rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

-                  en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Calcul d'une aire entre deux courbes

Considérons la partie du plan bornée par les droites d'équation x = a et x = b ainsi que par les courbes d'équation y=f(x) et y=g(x).

alors l'aire S de ce domaine est:

Calcul d'une intégrale définie

 
où F est une primitive de f c’est-à-dire que

à télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip 

Cette question résolue (référence : Q123)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du premier degré  
(référence : F1) 
définition, représentation, racine, signe

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
(référence : F3) 
définition, calcul, propriétés, interprétation géométrique, applications (calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution)

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Equations des droites dans le plan
(référence F5) 
équation réduite, équation générale, tracer une droite, droite passant par un point et de coefficient directeur donné, droite passant par 2 points, interprétation géométrique du coefficient directeur, condition de parallélisme, condition de perpendicularité, angle que forme une droite avec l'axe des abscisses, exemples illustrant ces notions.

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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