Enoncé:

Déterminer la longueur en mètres des côtés a, b et c d'un parallélépipède rectangle dont l'aire totale est égale à 228 m², dont la somme des longueurs de tous les côtés est égale à 76 m et tels que

Résolution:

Les inconnues : a, b et c les côtés en mètres du parallélépipède rectangle.

Mise en équations du problème:

- l'aire totale est égale à 228 m²:

L'aire totale est celles des 6 faces c'est-à-dire 3 paires de faces dont les surface sont a.b, b.c et a.c.

Nous écrivons donc l'équation:

Nous pouvons diviser chaque terme par 2, ce qui donne l'équation simplifiée:

- la somme des longueurs de tous les côtés est égale à 76 m:

Le parallélépipède comprend 12 côtés, c'est-à-dire 4 de chacune des longueurs a, b et c.

Nous écrivons donc l'équation:

Nous pouvons diviser chaque terme par 4, ce qui donne l'équation simplifiée:

- les 3 inconnues doivent donc vérifier les équations (1) et (2) ainsi que la relation donnée dans l'énoncé. Nous obtenons ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues à résoudre:

Résolution du système d'équations:

Afin de faire disparaître les dénominateurs de l'équation (3), nous multiplions les 2 membres par b.c:

Utilisons (4) pour remplacer a.c dans (1):

Nous pouvons mettre b en évidence dans le premier membre de l'équation obtenue:

Utilisons maintenant (2):

Le système obtenu est donc:

Nous remplaçons b par sa valeur dans (2) et (4):

Pour calculer a et c, nous devons donc chercher deux nombres dont la somme est 13 et le produit est 36. Nous pouvons facilement trouver que ces deux nombres sont 4 et 9.

Une autre méthode consiste à résoudre le système formé de (2) et (4):

Isolons c dans (2) et remplaçons c par l'expression obtenue dans (4):

Résolvons l'équation (4) en ramenant tous les termes dans le premier membre:

Nous avons une équation du second degré à résoudre:

Pour chacune des valeurs de a trouvées, calculons la valeur de c correspondante en utilisant (2):

Réponse au problème: les côtés du parallélépipède mesurent 6, 9 et 4 mètres.

Rappels de cours concernant cette question:

Principes d'équivalence des systèmes d'équations

Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q125)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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