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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve complémentaire Polytechnique – Algèbre Analyse Trigonométrie– Série 2 - Question 4 (2000)

Enoncé:

Résoudre dans C (avec i² = - 1):

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chaque solution.

Résolution

Effectuons d'abord les calculs et regroupons les termes dans le membre de gauche:

Nous reconnaissons que l'équation donnée est une équation bicarrée.

Posons

L'équation s'écrit alors:

Résolvons cette équation du second degré, et pour cela calculons le réalisant:

Les solutions en t sont donc:

Pour chacune des valeurs de t, calculons les solutions en x:

Posons:

Nous devons donc rechercher les réels a et b tels que:

Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:

Remplaçons a dans la première équation du système et résolvons celle-ci:

Il s'agit à nouveau d'une équation bicarrée, mais dans R cette fois. Nous posons:

L'équation devient:

Cette dernière équation n'a pas de solution car b est un réel.

Les solutions en x sont donc:

Procédons de même pour l'autre valeur de t:

Posons:

Nous devons donc rechercher les réels a et b tels que:

Identifions les parties réelles et les parties imaginaires:

Remplaçons a dans la première équation du système et résolvons celle-ci:

Nous obtenons la même équation en b que pour le calcul de la première valeur de t. Les solutions pour b sont donc:

Les solutions en x sont donc:

L'ensemble des solutions de l'équation donnée est:

Un nombre complexe est un nombre sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels et i , l'unité imaginaire telle que

a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.

Calcul des racines carrées d'un nombre complexe

Rechercher les racines carrées du complexe a+bi revient à rechercher les réels x et y tels que

Il suffit donc de résoudre ce système en x et y, sans perdre de vue que x et y sont des réels.

Résolution dans l'ensemble des réels de l'équation du second degré

Pour résoudre l'équation :

calculer son réalisant :

- si r  > 0 , l'équation admet deux solutions :

- si r = 0 , l'équation admet une seule solution (ou deux solutions identiques):

- si r < 0 , l'équation n'admet pas de solution

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de

c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q96)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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