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Examen d'admission Université de Liège  (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Septembre 2000)

Enoncé:

Discuter et résoudre le système

où a et b sont des paramètres réels.

Résolution

Nous choisissons le système formé des équations (1) et (3). Ainsi la discussion de ce système ne se fera que sur le seul paramètre a. Soit donc à résoudre:

Isolons y dans la deuxième équation et remplaçons dans la première:

La première équation ne contient plus que l'inconnue x. Résolvons-la en isolant les termes en x dans le membre de gauche:

1er cas:

Dans ce cas, nous pouvons diviser les deux membres de l'équation (*) par a(1-a) et nous obtenons la solution:

Portons cette valeur de x dans la deuxième équation du sous-système pour calculer y:

Le sous-système admet donc le couple (0,a) pour solution unique. Pour que cette solution soit solution du système donné, elle doit vérifier la deuxième équation du système donné dans l'énoncé, sinon nous devons la rejeter:

c'est-à-dire

Si

Si

2è cas:

Le système donné dans l'énoncé est alors:

La première équation est vérifiée pour toute valeur de x et de y. Elle est donc inutile. Le système à résoudre est donc:

Isolons y dans la deuxième équation et remplaçons dans la première:

Discutons par rapport à la résolution de la première équation:

Si

Nous pouvons diviser les deux membres de la première équation par le coefficient de x:

Le système admet donc une solution unique:

Si

Le système s'écrit:

La première équation étant vérifiée pour toute valeur de x, l'ensemble des solutions du système s'écrit:

Si

Le système s'écrit:

La première équation étant impossible, l'ensemble des solutions est:

3è cas:

Le système donné dans l'énoncé est alors:

La première équation étant identique à la troisième, le système est équivalent au système à 2 équations suivant:

Isolons y dans la première équation et remplaçons dans la deuxième:

Résolvons la deuxième équation en isolant x:

Si

Nous pouvons diviser les deux membres de la cette équation par le coefficient de x:

Le système devient:

Le système admet donc une solution unique:

Si

Le système s'écrit:

La deuxième équation étant vérifiée pour toute valeur de x, l'ensemble des solutions du système s'écrit:

Synthèse:

Si		et		alors
Si		et		alors
Si		et		alors
Si		et		alors
Si		et		alors
Si		et		alors
Si		et		alors

Rappels de cours concernant cette question:

Méthode de substitution

La méthode de substitution pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation. Cette nouvelle équation ne contient alors plus qu'une inconnue et peut donc être résolue par la méthode adéquate.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q132)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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