Enoncé:

Déterminer, en fonction du paramètre réel m, le nombre de racines réelles supérieures à 2 qu'admet l'équation:

Résolution

1er cas:

Dans ce cas, l'équation est du premier degré et devient:

Elle n'admet aucune racine supérieure à 2.

2ème cas:

Dans ce cas, l'équation est une équation du second degré. Pour déterminer le nombre de solutions, nous devons étudier le signe du réalisant. Calculons celui-ci:

Celui-ci est également une expression du second degré, en m. Pour étudier son signe, nous devons calculer ses racines et donc son réalisant:

Nous obtenons un nombre strictement négatif, donc le réalisant de l'équation donné garde le même signe que 9, soit strictement positif, pour toute valeur de m.

Nous en déduisons que l'équation donnée admet deux racines distinctes pour toute valeur de m. Notons x₁ la plus petite, et x₂ l'autre de ces deux racines.

Nous devons maintenant étudier le signe de:

Les racines des facteurs sont:

Et son tableau de signe:

Suivant le signe de cette expression, nous pouvons dire si 2 se trouve entre les racines (si l'expression est strictement négative) ou à l'extérieur des racines (si l'expression est strictement négative). Dans ce dernier cas, pour déterminer si 2 est inférieur aux deux racines ou supérieur à ces deux racines, nous devons étudier le signe de:

Les racines des facteurs sont:

Et le tableau de signe:

Reprenons dans un tableau toutes les valeurs possibles de m et écrivons les conclusions pour chacun de ces cas:

Résumé de la discussion:

	: l'équation admet une racine strictement supérieure à 2
	: l'équation admet une racine égale à 2 et aucune racine strictement supérieure à 2
	: l'équation n'admet aucune racine strictement supérieure à 2

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Propriétés de la somme et du produit des racines d'une expression du second degré

Dans le cas où l'expression du second degré

admet deux racines x₁ et x₂, leur somme est :

et leur produit est:

Position d'un nombre par rapport aux racines d'une expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Dans le cas où elle admet deux racines distinctes, désignons par x₁ la plus petite de ces racines, et x₂ l'autre racine.

 Rappelons son tableau de signe:

Considérons un nombre réel m:

1er cas:

f(m) est alors du signe contraire de a, autrement dit:

2ème cas:

f(m) est alors du signe de a, autrement dit:

Pour distinguer les cas où m est inférieur aux deux racines, ou supérieur aux deux racines, nous devons ajouter une condition.

Remarquons préalablement que la moyenne de deux nombres distincts est toujours comprise entre ceux-ci:

Or nous savons que:

Par conséquent:

Nous concluons:

Pour étudier la position d'un réel m par rapport aux racines d'une équation du second degré, il faut étudier le signe de:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q139)

Le formulaire des identités remarquables
identités remarquables (formules de factorisation, carrés, cubes...) ainsi que la formule du binôme de Newton, le triangle de Pascal et les explications pour construire celui-ci.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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