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Examen d'admission Université Catholique de Louvain (Belgique)- Algèbre – Question 2 (Juillet 2000 - série 1)

Enoncé:

Déterminer le polynôme P(x) du troisième degré (ayant trois racines, réelles ou complexes) tel que

(1) le coefficient de x³ dans P(x) vaut 1;

(2) la somme des racines de P(x) vaut -3;

(3) la somme des carrés des racines de P(x) vaut 7;

(4) le produit des racines de P(x) vaut 5.

Ensuite, déterminer toutes les racines, réelles ou complexes, de P(x).

Résolution

Désignons par a, b et c les trois racines de P(x).

Nous en déduisons que le polynôme P(x) est divisible par

Désignons par Q(x) le quotient de cette division. Le polynôme P(x) s'écrit:

Des données, nous déduisons que

En effet, si nous effectuons le produit (x-a)(x-b)(x-c), nous obtenons un polynôme du troisième degré dont le coefficient de x³ est 1.

Nous avons alors:

Il reste à déterminer a, b et c. Pour cela nous traduisons les conditions sur a, b et c en équations et nous obtenons le système de 3 équations à 3 inconnues suivant:

Pour résoudre ce système, nous allons procéder de manière "astucieuse". Nous remarquons tout d'abord que

Nous pouvons ainsi transformer la deuxième équation et le système obtenu est:

Isolons la somme a+b dans la première équation et le produit ab dans la troisième et remplaçons ces expressions dans la deuxième afin qu'elle ne contienne plus que l'inconnue c:

Nous allons maintenant résoudre la deuxième équation. Pour cela nous effectuons les calculs ensuite nous ramenons tous les termes dans un seul membre:

Multiplions chaque terme par c afin d'obtenir un polynôme:

Nous pouvons encore diviser chaque terme par 2:

Ce polynôme a une solution évidente : 1. Par conséquent, il est divisible par c-1. Calculons le quotient en utilisant la méthode de Hörner:

Le quotient est donc:

Et l'équation est équivalente à:

Calculons les racines du deuxième facteur. Le discriminant vaut:

Celui-ci étant strictement négatif, il n'admet pas de racines réelles mais deux racines complexes:

Remarque: il y a 3 solutions pour c. En effet, le polynôme P(x) admet 3 racines et celles-ci jouent le même rôle au niveau des conditions (dans le système, nous pouvons permuter les lettres a, b et c sans changer aucune des équations). Il est donc inutile de continuer à résoudre le système puisque nous retrouverions dans un autre ordre pour a, b et c les trois solutions trouvées actuellement pour c.

Nous en concluons donc que:

Et les racines du polynômes sont:

Rappels de cours concernant cette question:

Division d'un polynôme par x - a

Condition de divisibilité d'un polynôme par x - a

Calcul du quotient et du reste par la méthode de Horner

La méthode de Horner est une disposition pratique permettant d'obtenir le quotient et le reste très rapidement.

Nous allons l'expliquer avec

et le diviseur

Nous construisons le tableau suivant:

La première ligne contient les coefficient de P(x) écrits dans l'ordre des puissances décroissantes de x (tous les coefficients doivent être inscrits, même les coefficients nuls). Sur la seconde ligne nous inscrivons la valeur de a dans le diviseur x-a.

Abaissons d'abord le premier coefficient de P(x) dans la troisième ligne:

Celui-ci est multiplié par a et inscrit dans la deuxième ligne en-dessous du deuxième coefficient de P(x) et additionné à celui-ci. On inscrit le résultat dans la troisième ligne:

On recommence ces étapes avec ce nouveau résultat (le coefficient est multiplié par a et inscrit sous le troisième coefficient de P(x) puis additionné à celui-ci):

Et ainsi de suite jusqu'à ce que la grille soit remplie:

La dernière ligne donne les coefficients du quotient et le reste.

Principe d'équivalence des systèmes d'équations

Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

Résolution de l'équation du second degré dans les nombres complexes

Soit à résoudre l'équation d'inconnue x (complexe)

où a, b, c sont des nombres complexes (a est non nul)

Calculer le réalisant:

Calculer les racines carrées de

c'est-à-dire les complexes r tels que:

Les solutions de l'équation sont alors données par la formule:

Zéros d'une expression et règle du produit nul

Un zéro ou une racine d'une fonction ou d'une expression est une valeur de la variable pour laquelle cette fonction ou cette expression est nulle.
Chercher les racines d'une fonction f revient donc à résoudre l'équation f(x) = 0.

Règle du produit nul:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q145)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

Division euclidienne des polynômes
(référence F14)
Définition - description détaillée sur un exemple de la méthode de calcul du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme - cas particulier de la division par x - a : loi du reste, divisibilité, méthode de Hörner

Les nombres complexes
(référence F17)
Définition d'un nombre complexe, complexe conjugué - égalité de deux nombres complexes - résolution de l'équation du second degré dans les complexes - calcul des racines carrées d'un nombre complexe - représentation géométrique et forme trigonométrique - propriétés (produit, quotient, puissances, formule de Moivre) - racines n^èmes d'un nombre complexe

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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