Enoncé:

Deux villes A et B sont distantes de d km. A un instant donné, un automobiliste quitte la ville A dans la direction de la ville B à la vitesse constante v_a, et deux cyclistes quittent la ville B, le premier dans la direction de la ville A, et le second dans l'autre direction. Leurs vitesses sont aussi considérées comme constantes et valent respectivement v₁ et v₂.

Le premier cycliste rencontre l'automobiliste au point C (entre A et B) et le second est rattrapé par cet automobiliste au point D (au delà de B) en peu plus tard. Déterminez les distances parcourues par l'automobiliste depuis son départ jusqu'aux deux points de rencontre.

 On vous demande de mettre ce problème en équation, ensuite de le résoudre analytiquement, et enfin de calculer la valeur numérique de ces distances si d = 40 km, v_a = 60 km/h, v₁ = 10 km/h, v₂ = 15 km/h.

Résolution:

Désignons par x la distance en km parcourue par l'automobiliste jusqu'à sa rencontre avec le premier cycliste et désignons par t₁ le temps en heures depuis le départ jusqu'à cette rencontre.

De même désignons par y la distance en km parcourue par le second cycliste jusqu'au moment où il est rejoint par l'automobiliste et par t₂ le temps en heures depuis le départ jusqu'au moment où il est rejoint.

Jusqu'à la rencontre avec le premier cycliste, l'automobiliste a parcouru une distance x en un temps t₁ à la vitesse v_a. Nous avons donc la relation:

Pendant ce même temps t₁, le premier cycliste a parcouru une distance d-x à la vitesse v₁. Donc:

Afin d'éliminer t₁, divisons membre à membre ces deux équations:

Résolvons cette équation par rapport à x:

La distance parcourue par l'automobiliste jusqu'à la rencontre avec le premier cycliste est donc:

D'autre part, jusqu'au moment où l'automobiliste rejoint le deuxième cycliste, il a parcouru une distance d+y en un temps t₂ à la vitesse v_a. Donc:

Pendant ce même temps t₂, le deuxième cycliste a parcouru une distance y à une vitesse v₂. Donc:

Afin d'éliminer t₂, divisons membre à membre ces deux équations:

Résolvons cette équation par rapport à y:

Pour rejoindre le deuxième cycliste, l'automobiliste a parcouru la distance:

La distance parcourue par l'automobiliste pour rejoindre le deuxième cycliste est donc:

Application numérique

Si d = 40 km, v_a = 60 km/h, v₁ = 10 km/h, v₂ = 15 km/h:

la distance parcourue par l'automobiliste pour rencontrer le premier cycliste est:

et la distance parcourue par l'automobiliste pour rejoindre le deuxième cycliste est:

Rappels de cours concernant cette question:

Formules du mouvement rectiligne uniforme

Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme lorsque sa vitesse est constante tout au long du trajet en ligne droite.

La vitesse est le rapport entre l'espace parcouru (en m) et le temps de parcours (en s).

Si v désigne la vitesse, e l'espace parcouru et t le temps de parcours, on a donc la formule:

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q147)

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