Calcul d'une aire sous une courbe

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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Epreuve commune – Algèbre Analyse Géométrie Trigonométrie – Question 6 (Série 3 2009)

Enoncé:

On donne la fonction:

Calculer l'aire comprise entre le graphe de la fonction f, l'axe des X et des droites d'équation et .

Résolution:

Nous devons d'abord étudier le signe de la fonction sur l'intervalle [0;4].

Recherchons d'abord ses racines et pour cela, calculons son réalisant:

Les racines sont:

Nous réalisons maintenant le tableau des signes de f:

Sur l'intervalle [0;3], la fonction est négative et l'aire comprise entre le graphe de f et l'axe des X entre les droites et est:

Sur l'intervalle [3;4], la fonction est positive et l'aire comprise ente le graphe de f et l'axe des X entre les droites et est:

Afin de calculer les deux intégrales définies, calculons d'abord l'intégrale indéfinie de la fonction:

Calculons à présent les deux intégrales définies:

Finalement, l'aire demandée est :

Rappels de cours concernant cette question:

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant :

1^er cas:

Les racines sont :

et le tableau de signe :

2^ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine :

et le tableau de signe :

3^ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Calcul d'une aire plane

Si une fonction continue sur un intervalle ne change pas de signe sur cet intervalle, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b est donnée par la formule:

Calcul d'une intégrale définie

où F est une primitive de f c’est-à-dire que F‘ = f

Formule des primitives employée dans cette question

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (bientôt disponible)
(référence : Q189)

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Intégrale définie d'une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications: calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

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