Sans résoudre le système, discuter en fonction du paramètre réel m, le nombre de solutions du système:

Ensuite, résoudre le système.

Nombre de solutions du système

Une équation du premier degré à 3 inconnues est celle d'un plan dans l'espace muni d'un repère.

Le système proposé représente donc l'intersection de deux plans dans l'espace.

Deux plans dans l'espace sont parallèles si et seulement si les triplets formés par les coefficients respectifs des variables x, y et z sont proportionnels.

Dans le cas présent, on voit immédiatement que les triplets (2, -1, m) et (m, 1, -2m) ne sont proportionnels pour aucune valeur de m. Cela signifie que les deux plans ne sont parallèles pour aucune valeur de m. Ils sont donc sécants, quel que soit m, et leur intersection est toujours une droite. Le système est par conséquent simplement indéterminé quel que soit la valeur de m.

Résolution du système

Isolons y dans la première équation et remplaçons-le dans la deuxième:

Dans la deuxième équation, isolons les termes en x dans le premier membre:

Pour calculer x, nous devons diviser les 2 membres de la deuxième équation par m+2, ce qui exige une discussion:

1er cas:

Le système devient:

Remplaçons z dans la première équation:

L'ensemble des solutions du système est:

2ème cas:

Nous pouvons alors diviser les deux membres de la deuxième équation par m+2 pour calculer x. Ensuite, nous remplaçons x dans la première équation par l'expression obtenue.

Travaillons avec la première équation et effectuons les calculs:

Le système devient:

Et l'ensemble des solutions est:

Rappels de cours concernant cette question:

Equation d'un plan dans l'espace muni d'un repère

• Dans l'espace muni d'un repère, la forme générale de l'équation d'un plan est:

dans laquelle l'un au moins des coefficients a, b, c est non nul.

• Dans l'espace muni d'un repère, les deux plans d'équation

sont parallèles si et seulement si les triplets (a, b, c) et (a', b', c') sont proportionnels.

Si tous les coefficients a, b, c, a', b', c' sont non nuls, cette condition peut aussi s'écrire:

Résolution d'un système d'équations comportant plus d'inconnues que d'équations

Par exemple, pour résoudre un système de 2 équations à 3 inconnues, on se ramène à un système de 2 équations à 2 inconnues, la troisième étant considérée comme si elle était un paramètre.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q29)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

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