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On considère la fonction définie par
a) Donnez le domaine de f.
b) Situez le ou les extrema éventuels.
c) Indiquez les intervalles de convexité et de concavité de f et situez le ou les points d'inflexion éventuels.
d) Montrez que le graphe de f n'a pas d'asymptote.
e) Dessinez le graphe de f.
Résolution a) domaine de définition: b) extrema Calculons la dérivée de f: Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de f: La fonction admet un maximum pour x = 1 qui vaut f(1) = 3. c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion. Calculons la dérivée seconde de la fonction: Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et celui de la concavité/convexité de la courbe et des points d'inflexion: La concavité du graphe est tournée vers le bas sur le domaine de la fonction. Le graphe n'admet pas de point d'inflexion. d) Montrons que le graphe n'admet pas d'asymptotes asymptotes verticales 0 est le seul réel adhérent et n'appartenant pas au domaine de la fonction. Calculons la limite de la fonction en 0: La limite n'est pas infinie, le graphe de f n'admet donc pas d'asymptote verticale. asymptotes horizontales La limite n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale (la limite en moins l'infini n'a pas de sens). asymptotes obliques calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique: Cette limite n'étant pas un réel non nul, le graphe de la fonction n'admet pas d'asymptote oblique. e) Graphe de f Remarque importante: Pour déterminer le domaine de définition de la fonction, on s'est appuyé sur la définition d'une puissance d'un réel à exposant fractionnaire (voir ci-dessous), qui n'est définie que si le réel est strictement positif. Cependant, il existe un autre point de vue: lorsque l'exposant est 1/3, la puissance n'est qu'une autre écriture de la racine cubique du réel, qui est définie quel que soit ce réel. Si on adopte ce point de vue, le domaine de définition de la fonction est donc R et il convient d'adapter l'étude de toute la fonction: a) domaine de définition: R b) extrema La dérivée est: Et le tableau des variations est le suivant: La fonction admet un maximum pour x = 1 qui vaut f(1) = 3. c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion. La dérivée seconde est: On en déduit le tableau de la concavité/convexité et des points d'inflexion: Le graphe de f admet donc deux points d'inflexion d'abscisses -2 et 0. d) Montrons que le graphe n'admet pas d'asymptotes asymptotes verticales Le domaine étant R, le graphe de f n'admet pas d'asymptotes verticales. asymptotes horizontales Les limites n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale. asymptotes obliques calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique: Ces limites n'étant pas un réel non nul, le graphe de la fonction n'admet pas d'asymptote oblique. e) Graphe de f Rappels de cours concernant cette question: Racine cubique d'un réel x est la racine cubique du réel a si et seulement si Elle est notée: et est définie pour tout réel a. Ecriture des radicaux sous forme d'une puissance Si x est un réel strictement positif, n un naturel et p un naturel supérieur ou égal à 2: et Domaine de définition d'une fonction Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction. Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum) Méthode : - calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) - rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe - en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema Concavité et points d'inflexion On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle. Méthode : - calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules) - rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe - en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion Asymptotes verticales et limites infinies Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation On calculera donc la limite de la fonction en les réels n'appartenant pas au domaine de la fonction mais qui lui sont adhérents. Asymptotes horizontales et limites en l'infini Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation : Asymptotes obliques Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation Calcul des limites en l'infini Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination Formules des dérivées employées dans cette question A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip Cette question résolue (référence : Q46) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques. Votre assureur augmente ses prix ? 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a) domaine de définition:
b) extrema
Calculons la dérivée de f:
Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de f:
La fonction admet un maximum pour x = 1 qui vaut f(1) = 3.
c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion.
Calculons la dérivée seconde de la fonction:
Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et celui de la concavité/convexité de la courbe et des points d'inflexion:
La concavité du graphe est tournée vers le bas sur le domaine de la fonction. Le graphe n'admet pas de point d'inflexion.
d) Montrons que le graphe n'admet pas d'asymptotes
asymptotes verticales
0 est le seul réel adhérent et n'appartenant pas au domaine de la fonction. Calculons la limite de la fonction en 0:
La limite n'est pas infinie, le graphe de f n'admet donc pas d'asymptote verticale.
asymptotes horizontales
La limite n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale (la limite en moins l'infini n'a pas de sens).
asymptotes obliques
calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique:
Cette limite n'étant pas un réel non nul, le graphe de la fonction n'admet pas d'asymptote oblique.
e) Graphe de f
Pour déterminer le domaine de définition de la fonction, on s'est appuyé sur la définition d'une puissance d'un réel à exposant fractionnaire (voir ci-dessous), qui n'est définie que si le réel est strictement positif.
Cependant, il existe un autre point de vue: lorsque l'exposant est 1/3, la puissance n'est qu'une autre écriture de la racine cubique du réel, qui est définie quel que soit ce réel.
Si on adopte ce point de vue, le domaine de définition de la fonction est donc R et il convient d'adapter l'étude de toute la fonction:
R
La dérivée est:
Et le tableau des variations est le suivant:
La dérivée seconde est:
On en déduit le tableau de la concavité/convexité et des points d'inflexion:
Le graphe de f admet donc deux points d'inflexion d'abscisses -2 et 0.
Le domaine étant R, le graphe de f n'admet pas d'asymptotes verticales.
Les limites n'étant pas un réel, le graphe de f n'admet pas d'asymptote horizontale.
Ces limites n'étant pas un réel non nul, le graphe de la fonction n'admet pas d'asymptote oblique.
Racine cubique d'un réel
x est la racine cubique du réel a si et seulement si
Elle est notée:
et est définie pour tout réel a.
Ecriture des radicaux sous forme d'une puissance
Si x est un réel strictement positif, n un naturel et p un naturel supérieur ou égal à 2:
et
Domaine de définition d'une fonction
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.
Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre. L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction
Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance
Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)
Méthode :
- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées)
- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe
- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema
Concavité et points d'inflexion
On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.
- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)
- rechercher les racines des facteurs composant f'' et établir son tableau de signe
- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion
Asymptotes verticales et limites infinies
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation
On calculera donc la limite de la fonction en les réels n'appartenant pas au domaine de la fonction mais qui lui sont adhérents.
Asymptotes horizontales et limites en l'infini
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote verticale d’équation :
Asymptotes obliques
Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation
Calcul des limites en l'infini
Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate): - additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe - additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe - additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination (rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé) - multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes - multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination - diviser un réel par l'infini donne 0 - diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination
Formules des dérivées employées dans cette question
A télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip
Cette question résolue (référence : Q46) Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions. Les fiches de cours en rapport avec cette question: Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Cette question résolue (référence : Q46)
Le formulaire des dérivées dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.
Les fiches de cours en rapport avec cette question:
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction) Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression. Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas. Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas. Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
Dérivée d'une fonction (référence : F4) définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)
Recherche du domaine de définition d'une fonction (référence F7) définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.
Comment étudier le signe d'une expression? (référence F10) Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.
Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini (référence F11) Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.
Asymptotes du graphe d'une fonction (référence F12) Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.
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