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Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Analyse – Question 3.a) (Juillet 1998 - série 1)

Enoncé:

Esquissez la courbe donnée en coordonnées polaires par l'équation

Considérons ensuite les points P de la courbe tels que

et désignons par P' le point du segment OP tel que distance P'P=a, O étant l'origine des coordonnées. Donnez l'équation du lieu de P' en coordonnées polaires et précisez la nature de ce lieu.

Résolution

Notons

périodicité

symétries

La courbe est donc symétrique par rapport à l'axe polaire. Nous étudierons donc la courbe sur l'intervalle

existence de racines

Dans l'intervalle d'étude, il y a une racine:

Par conséquent, la courbe passe par le pôle et la tangente à la courbe au pôle a pour équation:

variations

Calculons la dérivée de f:

Les racines de la dérivée sont:

Et le tableau de signe de f' dans l'intervalle d'étude, duquel nous déduisons les variations de r:

Calculons la coordonnée polaire de quelques points (pour le graphique, nous avons choisi a = 2)

Nous en déduisons le tracé de la courbe sur l'intervalle d'étude:

Complétons le tracé de la courbe par symétrie par rapport à l'axe polaire:

Si nous désignons par P' le point du segment OP tel que distance P'P=a, O étant l'origine des coordonnées, nous avons:

L'équation du lieu de P' en coordonnées polaires est donc:

C'est le cercle de rayon a/2 et dont le centre a pour coordonnées polaires: (a/2,0).

Rappels de cours concernant cette question:

Considérons une demi-droite [OX munie d'un repère. Cette demi-droite est appelée l'axe polaire et l'origine O est appelée le pôle.

Le couple

de même que le couple

sont appelés couples de coordonnée polaire du point P

Considérons la courbe en coordonnées polaires d'équation:

L'équation en coordonnées polaires d'un cercle passant par le pôle de rayon R et où est l'angle polaire du centre:

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q47)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les coordonnées polaires
(référence F24)
Définition de coordonnée polaire d'un point - équations polaires d'une droite ne passant pas par le pôle, d'une droite passant par le pôle, d'un cercle centré au pôle, d'un cercle passant par le pôle, d'une conique - méthode d'étude d'une courbe en coordonnées polaires: périodicité, symétries, racines, variations, tracé - illustration de la méthode par un exemple détaillé

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