Hébergement de vote site internet: 1,75 € ht par mois

Enoncé:

Soit

une fonction dérivable telle que f '(x) < 0 pour tout x dans ]a,b[ et telle que

Démontrer que que f(x) ne s'annule jamais sur ]a,b[.

Résolution

Appelons g la prolongée par continuité de f en a, c'est-à-dire:

Supposons qu'il existe c dans ]a,b[ tel que f(c) = 0.

Nous avons donc f(c) = g(c) = 0.

Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées pour la fonction g dans l'intervalle ]a,c[ car g est continue dans [a,c] (elle est continue en a par définition et continue dans ]a,c[ car dérivable dans ]a,c[ ) et dérivable dans ]a,c[ et g(a) = g(c).

D'après le théorème de Rolle, il existe d dans ]a,c[ tel que g '(d) = 0, donc tel que f ' (d) = 0, ce qui est contraire aux données sur la fonction f. Il est donc impossible que f s'annule dans ]a,b[.

Rappels de cours concernant cette question:

Enoncé

Si f est une fonction continue dans [a,b], dérivable dans ]a,b[ et telle que f(a) =  f(b) alors

Illustration

Interprétation géométrique

Lorsque les hypothèses du théorème sont satisfaites, il existe c dans ]a,b[ tel que la tangente au point d’abscisse c de la courbe est parallèle à l’axe des abscisses. Il s’agit d’un cas particulier du théorème précédent.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q48)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Théorème des accroissements finis ou de Lagrange et théorème de Rolle
(référence F25)
Enoncés des deux théorèmes, illustration graphique et interprétation géométrique

Votre assureur augmente ses prix ? Comparez les offres de 54 assureurs pour trouver celui qui vous correspond. Economisez ! Grâce à Assurland.com Je gagne du temps Je fais jouer la concurrence Je fais des économies! Nos partenaires vous garantissent leur meilleur prix via Assurland.com. En effet sur Assurland.com, vous trouvez des prix identiques (voire moins chers) à ceux proposés en direct par les assureurs ! Gratuit et sans engagement

Cours de soutien scolaire

Les news de Techno-science.net

 

[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]

Hébergement de votre site  = 1,75 EUR/mois luxpixel.com

<**EMAIL_DEST**> Gamoniac est un service logistique de troc de jeux vidéo entre ses membres. Echangez les dernières nouveautés sur consoles en toute transparence et en toute sécurité pour un abonnement de 9,99 € seulement ! Beaucoup mieux que de la location : comme vous êtes propriétaire de vos jeux (vous pouvez d'ailleurs acheter le premier jeu au prix cassé de 19 € pour entrer dans le système de troc Gamoniac), il n'y a ni frais de résiliation, ni durée d'engagement après 3 mois, ni pénalité de retard. Vous êtes libre de jouer en illimité sur votre console. Alors avec Gamoniac, jouez plus en dépensant moins. En 2 mots : jouez plus malin !