Enoncé:

On considère la fonction définie par

a) Donnez le domaine de f.

b) Situez le ou les extrema éventuels.

c) Indiquez les intervalles de convexité et de concavité de f et situez le ou les points d'inflexion éventuels.

d) Montrez que la droite y = x est une asymptote pour

Indication:

e) Dessinez le graphe de f.

Résolution

a) domaine de définition:

condition d'existence:

b) extrema

Calculons la dérivée de f:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée et celui des variations de f:

La fonction étant strictement croissante sur son domaine de définition n'admet aucun extremum.

c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion.

Calculons la dérivée seconde de la fonction:

Réalisons le tableau de signe de la dérivée seconde et celui de la concavité/convexité de la courbe et des points d'inflexion:

La concavité du graphe est tournée vers le bas sur le domaine de la fonction. Le graphe n'admet pas de point d'inflexion.

d) Montrons que le graphe admet l'asymptote y = x

Il s'agit d'une asymptote oblique.

Calcul du coefficient directeur de l'asymptote oblique:

La limite en moins l'infini n'a pas de sens vu le domaine de définition.

Calcul de l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique:

Pour lever cette indétermination, nous utilisons la formule donnée en indication dans l'énoncé:

Le graphe de la fonction admet donc la droite y = x pour asymptote oblique.

e) Graphe de f

Remarque importante:

Pour déterminer le domaine de définition de la fonction, on s'est appuyé sur la définition d'une puissance d'un réel à exposant fractionnaire (voir ci-dessous), qui n'est définie que si le réel est strictement positif.

Cependant, il existe un autre point de vue: lorsque l'exposant est 1/3, la puissance n'est qu'une autre écriture de la racine cubique du réel, qui est définie quel que soit ce réel.

Si on adopte ce point de vue, le domaine de définition de la fonction est donc R et il convient d'adapter l'étude de toute la fonction:

a) domaine de définition: R

b) extrema

La dérivée est:

Le tableau des variations:

La fonction étant croissante sur son domaine de définition n'admet aucun extremum.

c) Intervalles de convexité, de concavité et points d'inflexion.

La dérivée seconde est:

Et le tableau de la concavité/convexité et des points d'inflexion:

Le graphe de f admet donc deux points d'inflexion: (0,-2) et (2,0).

d) Montrons que le graphe admet l'asymptote y = x

Les calculs sont les même que dans le premier cas avec + l'infini et - l'infini.

e) Graphe de f

Rappels de cours concernant cette question:

Racine cubique d'un réel

x est la racine cubique du réel a si et seulement si

Elle est notée:

et est définie pour tout réel a.

Ecriture des radicaux sous forme d'une puissance

Si x est un réel strictement positif, n un naturel et p un naturel supérieur ou égal à 2:

et

Domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels x en lesquels la fonction est définie c'est-à-dire l'ensemble des réels x qui ont une image par la fonction.

Méthode: écrire la ou les conditions d’existence de l’expression et les résoudre.    L ’ensemble des solutions est le domaine de définition de la fonction

Extremum d'une fonction (maximum ou minimum), croissance et décroissance

Si la fonction dérivée de f est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur cet intervalle. Les changements de signe de la dérivée indiquent l'existence d'un extremum (minimum ou maximum)

Méthode :

- calculer la fonction dérivée de f (voir formules des dérivées) 

- rechercher les racines des facteurs composant f' puis établir son tableau de signe

- en déduire les intervalles où f est croissante, décroissante ainsi que les extrema

Concavité et points d'inflexion

On sait que si la fonction dérivée seconde d'une fonction est strictement positive (respectivement strictement négative) sur un intervalle, le graphe de la fonction tourne sa concavité vers le haut (respectivement vers le bas) sur cet intervalle.

 Méthode :

- calculer la fonction dérivée seconde de la fonction (dériver la fonction dérivée au moyen des formules)

- rechercher les racines des facteurs composant  f'' et établir son tableau de signe 

- en déduire le sens de la concavité du graphe de la fonction et les points d'inflexion 

Asymptotes obliques

Le graphe d’une fonction f admet une asymptote oblique d’équation

Calcul des limites en l'infini

Remplacer la variable x par l'infini en respectant les règles suivantes (sauf les cas d'indétermination qu'il faut traiter par la méthode adéquate):
- additionner l'infini à un réel donne l'infini avec conservation de son signe
- additionner l'infini avec l'infini de même signe donne l'infini doté de ce signe
- additionner l'infini avec l'infini de signe contraire est un cas d'indétermination
(rappelons aussi que soustraire, c'est ajouter l'opposé)
- multiplier l'infini par un réel non nul donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par l'infini donne l'infini : le signe est déterminé par la règle des signes
- multiplier l'infini par 0 est un cas d'indétermination
- diviser un réel par l'infini donne 0
- diviser l'infini par l'infini est un cas d'indétermination
 

Formules des dérivées employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q50)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Asymptotes du graphe d'une fonction
(référence F12)
Méthodes pour trouver les asymptotes verticales horizontales et obliques au graphe d'une fonction, et étudier la position du graphe par rapport à celles-ci. Exemples variés et détaillés de ces méthodes et illustrations graphiques.

Cours de soutien scolaire

Les news de Techno-science.net

 

[ Accueil | Analyse | Algèbre | Géométrie | Géométrie analytique | Trigonométrie | Glossaire | Recherche | Téléchargement | Contact | Liens ]

Hébergement de votre site  = 39 euro/an luxpixel.com