a)

Si nous remplaçons x par 0 nous obtenons le cas:

Appliquons le théorème de l'Hospital:

Si nous remplaçons x par 0 nous obtenons à nouveau le cas:

Appliquons alors encore le théorème de l'Hospital:

b)

Première méthode:

Nous utilisons la propriété suivante:

Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b] de réels, alors la fonction

est une primitive de f sur [a,b], autrement dit:

Appliquons cette propriété:

Nous en déduisons la réponse à la question en appliquant la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions:

En tenant compte du fait que:

Nous obtenons:

Deuxième méthode: (nous procédons par calcul, mais c'est beaucoup plus long)

Calculons d'abord

Nous procédons par parties en posant:

Ce qui nous donne:

Procédons encore une fois par parties en posant cette fois:

Nous obtenons:

Nous en déduisons:

Nous calculons maintenant f(u):

Ce qui implique que

En tenant compte du fait que:

Nous obtenons:

Il reste à calculer la dérivée:

c)

Utilisons la formule de trigonométrie:

Nous en déduisons:

Nous obtenons:

d)

Décomposons la fonction en une somme de fractions simples, c'est-à-dire cherchons les valeurs de a et b afin que:

Réduisons la somme des deux fractions au même dénominateur puis rassemblons les termes semblables du numérateur:

Identifions les coefficients du numérateur de la fraction obtenue avec ceux de la fraction de départ et résolvons le système :

Revenons au calcul de l'intégrale:

e)

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie:

Nous procédons par parties en posant:

Appliquons la formule d'intégration par parties:

Nous obtenons une nouvelle intégrale indéfinie que nous calculons à nouveau par parties en posant:

Nous obtenons:

Calculons maintenant l'intégrale définie:

Intégration par parties

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle

où F est une primitive de f c'est-à-dire que F' = f

L'ensemble des primitives d'une fonction est noté:

Pour intégrer les fractions de polynômes dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur, on décompose celles-ci en une somme de fractions simples.

Pour cela :

a. Factoriser le dénominateur en polynômes du type

 et

de sorte que ces derniers ne soient pas décomposables en facteurs du premier degré donc avec la condition que

(Cette décomposition existe et est unique).

b. Ecrire la fraction donnée sous la somme de fractions simples de la manière suivante:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de n fractions simples:

Pour chaque facteur du dénominateur du type

il correspond la somme de fractions simples

c. Réduire la somme des fractions obtenues au même dénominateur et rassembler au numérateur les termes semblables afin d’obtenir un polynôme en la variable donnée.

d. Identifier les coefficients respectifs de même puissance dans la fraction donnée et dans la fraction obtenue. Cela conduit à système d’équations linéaires.

e. Résoudre ce système. On obtient ainsi les coefficients des fractions simples.

f. Intégrer la somme des fractions simples.
 

Formules des dérivées employées dans cette question

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q53)

Le formulaire des dérivées
dérivées des fonctions de base (constante, identique, puissances, racines, trigonométriques, cyclométriques, logarithmes et exponentielles népériennes et en base quelconque), dérivées de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions.

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base  et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Le formulaire de trigonométrie
formules fondamentales - formules d'addition - formules de duplication (angle double) - formules de Carnot - formules de Simpson - formules de factorisation - transformation de a.cos(x)+b.sin(x)+c

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Intégrale définie d'une fonction continue sur un intervalle
(référence : F3) 
définition, calcul, propriétés, interprétation géométrique, applications (calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution)

Dérivée d'une fonction 
(référence : F4) 
définition, interprétation géométrique, applications (tangente au graphe d'une fonction en un point, étude des variations d'une fonction, étude de la concavité et des points d'inflexion du graphe d'une fonction)

Limite d'une fonction en un réel ou en l'infini
(référence F11)
Limite en un réel: cas d'une fraction dont le numérateur s'annule et pas le numérateur, cas 0/0 dans le cas d'une fraction de polynômes et dans le cas d'une fraction avec des racines carrées. Limite en l'infini: opérations avec l'infini, limite en l'infini d'un polynôme, d'une fraction de polynômes, d'une fraction contenant des racines carrées, cas "infini - infini" avec des racines carrées. Règle de l'Hospital: conditions et conseils d'application, astuces pour transformer un cas "0.infini" ou "infini - infini" afin d'appliquer l'Hospital. Exemples détaillés de tous ces cas.

Maîtriser le calcul intégral pas à pas
(référence F13)
Intégration immédiate, formules et leurs utilisations, comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer, intégration par parties, intégration par substitution, liste de substitutions utiles, quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques, intégration des fractions de polynômes, décomposition en fractions simples, calcul des intégrales définies, les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

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