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Examen d'admission Ecole Royale Militaire (Belgique)- Section toutes armes – Algèbre Analyse – Question 5 (1999)

Enoncé:

Résolution

1. f est  une fonction du second degré et le coefficient de x² est négatif. Par conséquent, f ne peut être positive qu'entre ses deux racines.

Pour que f admette deux racines, son réalisant doit être strictement positif:

Recherchons les racines du réalisant afin d'étudier son signe:

Le tableau de signe du réalisant est donc:

La condition pour que f admette deux racines distinctes est donc:

Dans ce cas, les racines  de l'équation sont:

Et la fonction est positive sur l'intervalle:

D'autre part, puisque le coefficient de x² est négatif, le graphe est une parabole à maximum et l'abscisse du sommet est:

La fonction est donc décroissante sur la demi-droite réelle:

Nous en déduisons que la fonction est positive et décroissante sur l'intervalle:

Cet intervalle doit contenir l'intervalle:

Nous en déduisons que m doit vérifier les conditions:

Résolvons la première condition:

Résolvons la deuxième condition dont le domaine est (voir plus haut):

Vu la précédente condition, les deux membres de cette inéquation ont le même signe, et nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré:

Conclusion: les valeurs de m satisfaisant à la condition imposée dans l'énoncé sont:

2. si m = 3, alors on a:

Etudions son signe et pour cela recherchons ses racines:

Voici le tableau de signes:

La fonction est donc positive sur l'intervalle [-4,0]

D'autre part, puisque le coefficient de x² est négatif, le graphe est une parabole à maximum et l'abscisse du sommet est -2. La fonction est donc décroissante sur la demi-droite réelle:

En conclusion, la fonction est positive et décroissante sur l'intervalle [-2,0]. Cet intervalle contient bien l'intervalle

3. Calculons l'ordonnée du sommet:

Le sommet a donc pour coordonnée:

et l'axe de symétrie a pour équation:

Les points d'intersection avec l'axe des abscisses ont pour coordonnée:

Voici le graphe de la fonction dans un repère orthonormé:

Rappels de cours concernant cette question:

La représentation graphique de la fonction du second degré d'équation :

est une parabole qui a les caractéristiques suivantes :

si a > 0 , sa concavité est tournée vers le haut (parabole à minimum)
si a < 0 , sa concavité est tournée vers le bas (parabole à maximum)

son axe de symétrie a pour équation :

son sommet a pour coordonnée :

Racines et signe de l'expression du second degré

Considérons l'expression du second degré:

Calculer le réalisant : 

1er cas:

Les racines sont :
   

et le tableau de signe : 

2ème cas:

Le trinôme n'admet qu'une seule racine : 

et  le tableau de signe :

3ème cas:

Le trinôme n’admet pas de racine et le trinôme est du signe de a pour toutes les valeurs de x.

Principes d'équivalence des inéquations

Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de même sens.

• Lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement positif les deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de même sens.

• Lorsqu’on multiplie par un même nombre strictement négatif les deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente de sens contraire.

Résolution d'une inéquation irrationnelle

Une inéquation irrationnelle est une inéquation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un signe radical.

Nous utilisons la propriété suivante (principe d'équivalence):

Autrement dit, nous obtenons une inéquation équivalente en élevant les deux membres au carré, à condition que les deux membres soient strictement positifs.

Voici donc comment procéder:

1) Rechercher le domaine de l'inéquation.

2) Isoler le radical dans l'un des membres de l'inéquation.

3) Etudier le signe de l'autre membre.

4) Partager le domaine en deux parties:
- dans la partie du domaine où les deux membres sont strictement positifs, en élevant ceux-ci au carré, on obtient une inéquation rationnelle équivalente à l'inéquation initiale. Résoudre cette inéquation en ne gardant que les solutions qui appartiennent à cette partie du domaine.
- dans l'autre partie du domaine, on obtient une inéquation impossible ou indéterminée. Dans cette partie du domaine, l'ensemble des solutions est donc soit l'ensemble vide, soit cette partie du domaine.

5) L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est la réunion des deux ensembles ci-dessus.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q65)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

La fonction du second degré
(référence : F2)
définition, représentation, racines, propriétés des racines, factorisation, signe, position d'un nombre par rapport aux racines, détermination de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

Recherche du domaine de définition d'une fonction
(référence F7)
définition, lecture du domaine de définition sur un graphique, méthode de recherche du domaine de définition d'une fonction donnée par son expression analytique, liste des conditions d'existence d'une expression.

Racines carrées d'un nombre réel
(référence F8)
définition du symbole racine carrée positive, condition d'existence, propriétés, résolution de l'équation x² = a, simplification des radicaux, comment chasser un radical du dénominateur d'une fraction, exemples d'applications.

Comment étudier le signe d'une expression?
(référence F10)
Règle des signes d'une expression du premier degré, d'une expression du second degré, signe d'un produit, signe d'un quotient, signe d'une somme ou d'une différence, signe des autres expressions (expression irrationnelle). Exemples détaillés de tous ces cas.

Les inéquations 
(référence : F18) 
Principes d'équivalence des inégalités - les inéquations du premier degré - les inéquations rationnelles - les inéquations irrationnelles. Illustrations par des exemples détaillés.

Les équations
(référence F23)
Principes d'équivalence des équations - les équations du premier degré - les équations du second degré - les équations à résoudre par factorisation:  règle du produit nul - les équations fractionnaires - les équations polynômes d'un degré supérieur à 2 - les équations trinômes d'un degré supérieur à 2 - les équations irrationnelles - méthodes de résolution expliquées au moyen d'exemples.

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