Calcul de deux intégrales définies

Examen d'admission Université Libre de Bruxelles (Belgique)- Analyse – Question 1 (Juillet 1999)

Enoncé:

Calculer :

a)
b)

Résolution:

a) Afin de découvrir un lien éventuel entre u(x) et v(x), calculons la dérivée de v:

Nous constatons alors que:

Et l'intégrale à calculer est donc:

Nous allons calculer cette intégrale par parties en posant:

Appliquons la formule d'intégration par parties (pour la facilité, nous désignerons par I l'intégrale à calculer):

b) Recherchons d'abord la période de la fonction afin d'appliquer les propriétés des intégrales définies des fonctions périodiques.

Nous savons que la fonction:

est périodique de période et par conséquent que la fonction:

est périodique de période . Mais vu la valeur absolue, nous pouvons raisonnablement conjecturer que la période peut être encore divisée par 2. Vérifions que la période de la fonction donnée est 1:

Appliquons la propriété du sinus des angles anti-supplémentaires:

Ce qui donne:

La fonction donnée étant périodique, nous pouvons décomposer l'intégrale définie et appliquer les propriétés:

Nous en déduisons qu'on peut écrire les intégrales définies à calculer sans valeur absolue:

Recherchons maintenant une primitive de la fonction

c'est-à-dire que nous calculons l'intégrale indéfinie:

Calculons alors l'intégrale définie demandée:

Rappels de cours concernant cette question:

Primitives d'une fonction

Si f est une fonction continue sur un intervalle I de réels, alors la fonction F (définie sur cet intervalle I) est appelée une primitive de f

Si F est une primitive de f sur l'intervalle I, alors toute primitive de f sur I est de la forme F + k où k est un réel.

L'ensemble des primitives de f se note:

Intégration par parties

Calcul d'une intégrale définie

où F est une primitive de f c’est-à-dire que

Fonction périodique et intégrale définie

On dit que la fonction f est une fonction périodique de période p s'il existe un réel p tel que la fonction vérifie l'égalité suivante, quel que soit x appartenant au domaine de la fonction:

Si f est une fonction périodique, alors l'intégrale définie de f sur tout intervalle dont la longueur est la période, est constante, donc
si b - a = d - c = période alors

Valeur absolue d'un réel

Formules des primitives employées dans cette question

Formules des dérivées employées dans cette question

Propriétés des intégrales définies employées dans cette question

à télécharger: format Microsoft Word compressé au format .zip

Cette question résolue (référence : Q82)

Le formulaire des primitives
primitives des fonctions de base et de la composées de ces fonctions, opérations avec les fonctions - formules de l'intégration par parties - intégration par changement de variable.

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Maîtriser le calcul intégral pas à pas!
(référence F13)
Intégration immédiate - formules et leurs utilisations - comment transformer astucieusement une expression afin de l'intégrer - intégration par parties - intégration par substitution - liste de substitutions utiles - quelles formules employer pour intégrer les fonctions trigonométriques - intégration des fractions de polynômes - décomposition en fractions simples - calcul des intégrales définies - les méthodes sont accompagnées de conseils pour aider à choisir celle qui convient le mieux et illustrées par 47 exemples résolus en détail et commentés - dossier de 29 pages

Intégrale définie d'une fonction continue sur l'intervalle [a,b]
(référence F3)
définition, propriétés, interprétation graphique, calcul, applications: calcul d'une aire plane, d'un volume de révolution.

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