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Examen d'admission Université Catholique de Louvain  (Belgique)- Algèbre – Question 1 (Juillet 1999 - série 1)

Enoncé:

Soit a un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres réels, le système d'équations que voici:

Remarque: Ne pas s'embarquer dans des calculs de déterminants!

Résolution

Résolvons le système formé par les trois premières équations:

Additionnons la deuxième équation à la première afin d'éliminer x et z:

Remplaçons y par la valeur trouvée dans les deux autres équations:

Pour calculer z nous devons diviser les deux membre par 1 + 2a. Nous devons donc faire une discussion:

1er cas:

La troisième équation devient:

Cette équation étant impossible, le système l'est également:

2ème cas:

La troisième équation donne alors:

La solution du sous-système est donc:

Pour être solution du système donné, cette solution doit vérifier la quatrième équation que nous avions écartée. Nous obtenons alors la condition:

Le système donné n'admet donc des solutions que pour ces deux valeurs de a.

Reprenons la solution et remplaçons a. On obtient:

Le système admet le triplet (0,1,0) comme solution.

Synthèse:

Si
Si
Si

Rappels de cours concernant cette question:

1.      Méthode de substitution

Si on remplace dans une équation d’un système, l’une des inconnues par l’expression obtenue en isolant cette inconnue dans une autre équation, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

2.   Méthode des combinaisons

Si on ajoute à une équation d’un système un multiple d’une autre équation du système, le système obtenu admet les mêmes solutions que le système initial.

A télécharger: format Microsoft Word  compressé au format .zip

Cette question résolue
(référence : Q93)

Les fiches de cours en rapport avec cette question:

Résolution d'un système de 2 équations du 1er degré
(référence F6)
méthode de substitution, méthode des combinaisons, interprétation géométrique

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